Matemática
Equação de 2.º Grau

Definição

Denomina-se equação do 2.º grau com uma variável toda e qualquer equação que esteja na forma:

Onde: a, b, c pertencem a R, com a ≠ 0

Desta forma, são equações do segundo grau com uma variável:

1) 3x² – 4x + 1 = 0

Onde:

O termo a = 3

O termo b = - 4

O termo c = 1

2) y² + 10y – 15 = 0

Onde:

O termo a = 1

O termo b = 10

O termo c = - 15

Coeficientes da equação do 2.º grau

Os números reais a, b e c são chamados de coeficientes da equação do 2.º grau, assim:

» a é sempre o coeficiente do termo x²

» b é sempre o coeficiente do termo x

» c é chamado de termo independente ou, ainda, de termo constante

 

 

 

 

Equações completas e equações incompletas

Como já definimos, o coeficiente “a” é sempre diferente de zero (a ≠ 0). Mas os coeficientes “b” e “c” podem ser nulos.

Assim, quando “b” e “c” são diferentes de zero a equação estará completa.

Veja alguns exemplos de equações "completas":

2x² – 4x + 2 = 0

Y² – 3y + 4 = 0

-3t² + 4t + 3 = 0

Quando b = 0, ou c = 0 ou, ainda, b e c = 0, a equação será do tipo "incompleta".

Veja alguns exemplos de questões incompletas:

x² – 5 = 0

t² + 2t = 0

10x² = 0

 

 

 

 

Como resolver equações do 2º grau incompletas

Resolver uma equação implica, exatamente, determinar o conjunto de soluções dessa equação.

Inicialmente observamos o seguinte: » Se x2 = a, então x = raiz quadrada positiva e negativa (relação fundamental) » Se a.b = 0, então a = 0 ou b = 0 Baseado nas condições acima, verificaremos como resolver as equações incompletas do 2º grau. 1º caso: A equação é da forma ax2 + bx = 0, onde c = 0. Resolva as seguintes equações incompletas do 2º grau, sendo U = R Exemplos: a) x2 – 4x = 0 Colocando o fator x em evidência, temos: x. (x – 4) = 0 As raízes das equações são: x = 0 x – 4 = 0 x = 4 Logo S = {0,4} b) y2 + 10y = 0 Colocando o fator y em evidência, temos: y.(y + 10) = 0 As raízes das equações são: y = 0 y + 10 = 0 y = -10 Logo S = {0, -10} Observe que nos exemplos acima, sempre procuramos colocar a variável em evidência para a equação seja solucionada mais rapidamente. 2º caso A equação é da forma ax2 + c = 0, onde b = 0. Resolva as seguintes equações incompletas do 2º grau, sendo U = R a) x2 – 49 = 0 Calculando o termo independente e transpondo e termo, temos o seguinte: x2 – 49 = 0 x2 = 49 x = +/- raiz quadrada de 49 (√49) – relação fundamental x = +/- 7 ---à Raiz quadrada de 49 pertence R e é exata : 7 x = + 7 ou x = -7 S = {-7, 7} b) 4x2 – 36 = 0 Calculando o termo independente e transpondo e termo, temos o seguinte: 4x2 = 36 x2 = 36/4 x2 = 9 x = +/- raiz quadrada de 9 (√9) – relação fundamental x = + 3 ou x = -3 S = {-3, 3} * Exercícios para fixação de conteúdo 1) Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela é completa ou não: a) 4x2 - 2x - 2 = 0 a = 4 b = -2 c = -2 A equação é denominada completa. b) 4x2 + 60 = 0 a = 4 b = 0 c = 60 A equação é denominada incompleta. c) x2 - 6x = 0 a = 1 b = -6 c = 0 A equação é denominada incompleta. 2) Calcule a) y2 + 15y = 0 y. (y + 15) = 0 y = 0 y + 15 = 0 y = -15 S = {0,-15)